Інформатика – Поглиблений рівень

Прочитайте!

Які фігури в геометрії називають многокутниками? Пригадайте, як ви обчислювали площі ромба, прямокутника, паралелограма та інших фігур. Розв’язування багатьох геометричних задач пов’язано з необхідністю обчислення площі многокутника, заданого координатами його вершин. У свою чергу, визначення площі многокутника ґрунтується на обчисленні площі трикутника, для чого зручно користуватися орієнтованим кутом між векторами, який враховує взаємне розташування векторів.

Орієнтованим кутом між векторами a і b називають кут, на який слід повернути вектор a проти ходу годинникової стрілки, щоб він став співнапрямленим з вектором b.

За абсолютним значенням орієнтований кут дорівнює звичайному куту між векторами, але він є додатним або від’ємним. Орієнтований кут між векторами a і b є додатним, якщо обертання від вектора a до вектора b здійснюється проти ходу годинникової стрілки, і від’ємним — у протилежному напрямку.

Наприклад,  орієнтовані кути між векторами a і b і між векторами b і a за модулем рівні, але перший із них від’ємний, а другий — додатний. Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку переліку векторів і може набувати значень від –180° до 180°.

Розглянемо тепер поняття орієнтованої площі трикутника.

Трикутник називають орієнтованим, якщо зазначено напрям обходу його контуру.

Орієнтованою площею трикутника ABC називають величину, що дорівнює його площі, взятій зі знаком «плюс», якщо обхід сторін трикутника у порядку A–B–C–A здійснюється проти ходу годинникової стрілки, і зі знаком «мінус», якщо — за ходом.

Розглянемо прямокутний трикутник ABC. Нехай O — довільна точка на площині трикутника. Площу трикутника ABC можна знайти так: від площі трикутника OBC відняти площі трикутників OAB і OCA. Інакше кажучи, необхідно додати орієнтовані площі трикутників OAB, OBC і OCA. Це правило діє у випадку будь-якого вибору точки O.

Для обчислення площі будь-якого многокутника A 1A2 … An необхідно скласти орієнтовані площі трикутників OA1A2 , OA2A3 ,…, OAnA1.

Наприклад, для обчислення площі п’ятикутника
A1A2A3A4A5 , зображеного на рис. 10.11, необхідно скласти орієнтовані площі трикутників: OA1A2 , OA2A3, OA3A4,OA4A5,  OA5A1 .

Площа многокутника буде зі знаком «плюс», якщо обхід вершин A1A2 … An многокутника здійснюється проти ходу годинникової стрілки, і зі знаком «мінус», якщо обхід виконується за ходом годинникової стрілки. Ця площа називається орієнтованою площею многокутника A1A2 …An .

Отже, обчислення площі многокутника фактично звелося до знаходження орієнтованої площі трикутника. Виразимо її в координатах. Орієнтована площа, побудована на векторах a = (x1; y1 ) і b = (x2; y2 )є площею паралелограма.

Векторний добуток, виражений через координати векторів, визначають так:

Нехай (x1; y1 ), (x2; y2 ), …, (xN; yN ) — координати вершин заданого многокутника у порядку обходу за або проти ходу годинникової стрілки. Тоді його орієнтована площа S дорівнює:

Нагадаємо, що звичайний кут дорівнює модулю орієнтованого кута. Відзначимо також, що усі розглянуті питання справедливі для правої системи координат. Але для окремих задач зручніше застосовувати ліву систему координат. Наприклад, координати пікселів на екрані монітора подають у лівій системі координат (вісь абсцис напрямлена вправо, вісь ординат — униз). У випадку вибору таких осей додатним є кут повороту за ходом годинникової стрілки. З цією
поправкою все сказане раніше застосовується і до лівої системи координат. Алгоритм обчислення площі многокутника за вже отриманими формулами може бути різним. Зверніть увагу на те, що
логіка обчислення першого й останнього членів цього виразу відрізняється від логіки обчислення всіх інших членів. Тому обчислимо окремо перший і останній члени, а всі інші обчислюватимемо за тією самою схемою.

Розглянемо програму обчислення площі многокутника на основі такого підходу. У програмі обхід вершин починається з вершини A0 і здійснюється в порядку збільшення їх номерів.

Працюємо за ПК!

Завдання 1. Знайдіть площу трикутника, вершини якого мають такі координати: A(1; −3) , B(2;2), C(−5;4).

Розв’язати задачу двома способами: використовуючи формулу Герона та формулу “орієнтованої площі трикутника”. Порівняти отриманий результат.

Завдання 2. Обчисліть площу чотирикутника, вершини якого мають координати: A(3;3) , B(9;5), C(11;8) , D(2;6).

Завдання 3. Вершини п’ятикутника мають координати: A1 (0.6;2.1),  A2 (1.8;3.6),  A3 (2.2;2.3),  A4(3.6;2.4),  A(3.1;0.5). Обчисліть площу цього п’ятикутника.

Завдання 4. Виконайте програму, зображену на рис, для трикутника, що має вершини: A(−1;2), B(5;3) , C(3;4). Доведіть, що отриманий результат є правильним.

Завдання 5. Скористайтеся географічною картою України і визначте, яка фігура утвориться, якщо сполучити відрізками міста: Львів, Чернігів, Полтава, Дніпро, Херсон, Одеса, Чернівці, Львів. Знайдіть площу цієї фігури.