Інформатика – Поглиблений рівень

У таких сферах, як робототехніка, системи автоматизованого програмування, комп’ютерна графіка тощо, застосовуються алгоритми, що описуються в термінах геометрії.

Обчислювальна геометрія — це галузь комп’ютерних наук, присвячена вивченню алгоритмів розв’язування геометричних задач.

У процесі розв’язування задач обчислювальної геометрії використовуються базові геометричні об’єкти: точка, відрізок, пряма, вектор, многокутник, коло. Приклади геометричних задач: пошук координат точки перетину двох прямих; перевірка приналежності точки відрізку; перевірка приналежності точки многокутнику; обчислення площі многокутника; побудова опуклої оболонки. Точка на площині в декартовій системі координат задається двома числами — координатами x і y, а у тривимірному просторі — трьома координатами (x´, y´, z´). Відрізок можна задати, вказавши координати його початку й кінця, пряму — вказавши координати двох її точок. Оскільки в обчислювальній геометрії вектор є одним з основних «інструментів», згадаємо основні відомості про нього, що вивчалися на уроках геометрії.
Вектор — це напрямлений відрізок AB, де A — точка початку (її ще називають точкою прикладання), B — точка кінця відрізку.

Вектор позначають двома великими латинськими буквами зі стрілкою (AB) або рискою зверху (AB). Вектор також позначають однією буквою (a), або буквою зі стрілкою.

Вектор характеризується довжиною і напрямком. Кожний вектор має проекцію на відповідну вісь. Проекцією вектора на вісь називають відрізок, кінцями якого є проекції точок початку й кінця вектора на задану вісь. Довжина проекції — довжина цього відрізка. Довжину проекції інколи також називають проекцією. Проекція має знак «плюс», якщо напрямок від проекції початку до проекції кінця вектора збігається з напрямком осі, і знак «мінус», якщо ці напрямки протилежні.

Проекція дорівнює довжині початкового вектора, помноженій на косинус кута між цим вектором і віссю.

Довжиною, або модулем, вектора називають відстань між точками його кінця і початку.

Довжина вектора |a| в прямокутних декартових координатах дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його координат.

Вектори бувають  колінеарні й неколінеарні. Колінеарні вектори — це вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих. Колінеарні вектори, у свою чергу, поділяють на дві групи: однаково напрямлені (співнапрямлені) і протилежно напрямлені.

Умови колінеарності векторів

Два вектора будуть колінеарні при виконанні будь-якої з цих умов:

• Два вектора a і b колінеарні, якщо існує число n таке, що a = n · b.
• Два вектора колінеарні, якщо відношення їх координат рівні.

Виконайте вправу

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і мають однакову довжину. Два колінеарні вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називають протилежними. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нульовим. Одиночним вектором, або ортом, називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Працюємо за ПК!

Виконайте вправу

Завдання 1. Точка A має координати (х1; у1), а точка B — координати (х2; у2). Розробіть програму для обчислення довжини вектора. Перевірте виконання програми на таких прикладах: А(-1; 4), В(5; 9) та А(2; 4), В(5; 10).

Завдання 2. Дано вектор c , c =k, кут між вектором і віссю становить p°. Розробіть програму для визначення проекції вектора c на цю вісь.

Завдання 3. Дано координати початку А (х1; у1) та кінця В(х2; у2) вектора c, кут між вектором і віссю становить p°. Розробіть програму для визначення проекції вектора c на цю вісь.

Завдання 4. Дано вектор а з координатами початку (х1;у1) і кінця (х2;у2) і вектор b з координатами початку (х3;у3) і кінця (х4;у4). Визначте,чи є ці вектори колінеарними.

Завдання 5. Вектор a має координати (х1;у1) і прикладений до точки (х;у). Обчисліть координати точки кінця. вектора.

Завдання 6. Дано колінеарні вектори а (х1;у1) і b  (х2; у2). Відомо х1, у1, у2 (значення вводяться з клавіатури), знайти таке значення х2, щоб умова колінеарності виконувалась.